Floyd–Warshall算法

O(n^3)的求解全源最短路径方法

Posted by boydfd on 2018-04-01 20:19:00 +0800

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Entity

最近看作业的时候,发现候选人用了Floyd–Warshall算法,这燃起了我失联N久的算法之心,由这个算法入手,重新再学习学习算法。

阅读前提

首先这个算法会涉及到动态规划 ,wiki上有说明,我就不详细讲了。

算法简介

直接摘自wiki:

principle

算法解析

乍一看,感觉这算法很简单,就只有一个规则,然后就能找出所有节点的最短路径,其实这短短的公式中蕴含了足够的知识量。

动态规划

Floyd–Warshall算法的动态规划思路着眼于”中间点”,公式中的k就是这样一个中间点。

首先,假设图G的所有节点为V={1,2…,n},我们取一个子集{1,2…k},这里k<n,对于任意的i,j属于V,它们的中间节点都取自{1,2…k},并且设p是最短路径。

  1. 如果k不是路径p上的点,那么p上的所有节点属于集合{1,2…,k-1},显然由{1,2…,k-1}组成的最短路径p也是{1,2…,k}的最短路径p。

  2. 如果k是路径p上的点,那么我们先从{1,2…,k-1}中找到p的两条子路径p1:i->…->k,p2:k->…->j,(注意,我们让k成为了端点,所以这两条子路径才可以以{1,2…,k-1}为中间点) 我们就可以得知p=p1+p2,这里我们利用一个公理(最短路径的子路径也是最短路径)得知p1和p2必须是最短路径。

  3. 考虑到如果没有中间点的情况,我们的最短路径就定义为Wij也就是i到j的权重。

  4. 所以最后我们就得到了:

formula

  1. 当k>=1时的情况,我们之所以能这么写,是因为,最短路径只有一条,要么是通过k的,要么是不通过k的,短的那一条,必定是最短路径了。

伪代码

let dist be a |V| × |V| array of minimum distances initialized to ∞ (infinity)
 for each vertex v
    dist[v][v] ← 0
 for each edge (u,v)
    dist[u][v] ← w(u,v)  // the weight of the edge (u,v)
 for k from 1 to |V|
    for i from 1 to |V|
       for j from 1 to |V|
          if dist[i][j] > dist[i][k] + dist[k][j] 
             dist[i][j] ← dist[i][k] + dist[k][j]
         end if

这里为了节约空间,直接在原来空间上进行迭代,其实:

if dist[i][j] > dist[i][k] + dist[k][j] 
   dist[i][j] ← dist[i][k] + dist[k][j] 可以理解为:

if dist[k-1][i][j] > dist[k-1][i][k] + dist[k-1][k][j] 
    dist[k][i][j] ← dist[k-1][i][k] + dist[k-1][k][j]
else
    dist[k][i][j] ← dist[k-1][i][j]

这里k是我们选择的中间节点,k的选择会从0开始,然后一直到n。由上面的推导,很容易能得出有d(k)ij就是:以{1,2…k}为中间点,从i到j的最短路径。那么d(n)ij就是我们要的最终结果,全图的最短路径都包含在这里面了。 ij都存下来,我们就得到了最终结果。

重点

这里的关键就是先理解由上而下的推论,也就是:

  1. k如果属于最短路径上的中间节点,那么最短路径就是{1,2,…k-1}中间节点组成的最短路径i->…->j。
  2. k如果不属于最短路径上的中间节点,那么最短路径就是{1,2,…k-1}中间节点组成的最短路径p1:i->…->k和p2: k->…->j。
  3. 这里k的最短路径总是能由”{1,2,…k-1}中间节点组成的最短路径”来决定,是很重要的!!

然后我们由下而上地组建我们的d(k)ij:由{1,2…k}中间节点组成的最短路径ij,最后完成我们的d(n)ij。

一个栗子

process